当你有一大笔现金想要投资，应该单笔投入（Lump-sum）还是应该定投（Dollar Cost Averaging，DCA）？
很多研究文献都说明，单笔投入的期望回报比定投更好。
不过如果投资的目标是最小化后悔（regret）的话，结论会有所不同。
Ordine, A. (2017) 对后悔的定义是实际获得收益与最优收益之差值。什么是最优收益？请看经典面试问题 Best Time to Buy and Sell Stock。在这个定义下，买了之后下跌赔钱会后悔，没买然后涨上去没赚到钱也会后悔，而且赔钱和少赚的后悔程度相当。
既然已经知道单笔投入对期望回报更优，为什么还需要研究如何最小化后悔呢？作者认为，实际的投资者并非完全追求效用最大化的理性人，容易受到行为偏差的影响。因此，最小化后悔有助于减小行为偏差。
下图展示了可能的投资策略：策略 30 为线性，即 DCA 定投；策略 1 在早期投入更多，然后逐渐减慢；反之策略 60 早期投入少，然后逐渐增大。
作者证明，假设回报满足对数正态分布，最小化后悔的投资方式是早期投入稍快的曲线，在作者的例子中是图中的策略 25。
之所以最优的曲线偏凹（concave）而不是完全的线性，是因为股票回报的非对称性（即对数正态分布的假设）使得早期投入不足会导致更大的后悔。此外，如果投资时限越长，最小化后悔的曲线会更加凹，即早期投入更快。